bỏ ghim chh giùm kon, sợ quá:<

Dễ dàng nhận ra (hoặc chứng minh bằng quy nạp) dãy đã cho là dãy dương

\(u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{2020}{u_n}\right)\ge\dfrac{1}{2}.2\sqrt{2020}=\sqrt{2020}\)

\(\Rightarrow\) Dãy bị chặn dưới bởi \(\sqrt{2020}\)

Mặt khác:

\(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{2020}{u_n^2}\right)\le\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{2020}{\sqrt{2020}^2}\right)=1\)

\(\Rightarrow u_{n+1}\le u_n\Rightarrow\) dãy giảm

Dãy giảm và bị chặn dưới \(\Rightarrow\) dãy có giới hạn

Gọi giới hạn đó là L \(\Rightarrow\sqrt{2020}\le L\le2021\)

Lấy giới hạn 2 vế của \(u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{2020}{u_n}\right)\Rightarrow L=\dfrac{1}{2}\left(L+\dfrac{2020}{L}\right)\)

\(\Rightarrow L^2=2020\Rightarrow L=\sqrt{2020}\)

1:

a: \(u_2=2\cdot1+3=5;u_3=2\cdot5+3=13;u_4=2\cdot13+3=29;\)

\(u_5=2\cdot29+3=61\)

b: \(u_2=u_1+2^2\)

\(u_3=u_2+2^3\)

\(u_4=u_3+2^4\)

\(u_5=u_4+2^5\)

Do đó: \(u_n=u_{n-1}+2^n\)

a) Để chứng minh rằng Un > 1 đối với mọi N và Un là dãy tăng, ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp.

Bước cơ sở: Ta thấy rằng u1 = 2 > 1.

Bước giả sử: Giả sử đúng đối với một số nguyên k ≥ 1, tức là uk > 1.

Bước bước: Ta sẽ chứng minh rằng uk+1 > 1. Từ công thức cho dãy (Un), ta có:

uk+1 = uk-2015 + uk + 1/uk - uk + 3

Vì uk > 1 (theo giả thiết giả sử), ta có uk - 2015 > 0 và uk + 3 > 0. Do đó, uk+1 > 0.

Vì vậy, ta có uk+1 > 1, và đẳng thức này đúng đối với mọi số nguyên k ≥ 1.

Do đó, ta chứng minh được rằng Un > 1 đối với mọi N và Un là dãy tăng.

b) Để tính limn∑i=11uk - i + 2, ta có thể sử dụng định nghĩa của dãy (Un) và công thức tổng của dãy số aritmeti.

Từ công thức cho dãy (Un), ta có:

uk - i + 2 = uk - 2015 - i + uk + 1 - i + uk + 2 - i

Vì Un là dãy tăng, ta có thể viết lại công thức trên như sau:

uk - i + 2 = uk - 2015 - i + uk + 1 - i + uk + 2 - i

= (uk+1 - 2015 + uk + 1) - (uk - 2015 + uk) + (uk+1 - uk)

= 2uk+1 - 2uk + 2015

Do đó, ta có thể viết lại tổng như sau:

∑i=11uk - i + 2 = 2∑i=11uk+1 - 2∑i=11uk + 2015∑i=1

= 2(u12 - u2) + 2015(12)

Với giá trị cụ thể của u12 và u2, ta có thể tính được tổng trên.

Ta có: \(u_n>2020\) với mọi \(n\in N\text{*}\) \(\left(\text{*}\right)\)

Thật vậy, dễ thấy \(u_1=2021>2020\)

Giả sử \(\left(\text{*}\right)\) đúng với \(n=k\left(k\ge1\right)\)

\(\Rightarrow u_k>2020\)\(\Rightarrow u_{k+1}=\left[1-\dfrac{1}{\left(k+1\right)^2}\right]u_k+\dfrac{2020}{\left(k+1\right)^2}\)

\(>\left[1-\dfrac{1}{\left(k+1\right)^2}\right].2020+\dfrac{2020}{\left(k+1\right)^2}=2020\)

\(\Rightarrow\left(\text{*}\right)\) đúng với \(n=k+1\)

Do đó theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm.

Lại có:

\(u_{n+1}-u_n=\dfrac{2020}{\left(n+1\right)^2}-\dfrac{u_n}{\left(n+1\right)^2}< 0\) với mọi \(n\in N\text{*}\)

\(\Rightarrow\left(u_n\right)\) là dãy giảm

\(\left(u_n\right)\) là dãy giảm và bị chặn nên \(\left(u_n\right)\) là dãy hội tụ

Đặt \(limu_n=L\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2020\le L\le2021\\L=\left[1-\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2}\right].L+\dfrac{2020}{\left(n+1\right)^2}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow L=2020\left(tm\right)\)

Vậy \(limu_n=2020\)

Ta có: \(u_n>2020\) với mọi \(n\in N\text{*}\) \(\left(\text{*}\right)\)

Thật vậy, dễ thấy \(u_1=2021>2020\)

Giả sử \(\left(\text{*}\right)\) đúng với \(n=k\left(k\ge1\right)\)

\(\Rightarrow u_k>2020\)\(\Rightarrow u_{k+1}=\left[1-\dfrac{1}{\left(k+1\right)^2}\right]u_k+\dfrac{2020}{\left(k+1\right)^2}\)

\(>\left[1-\dfrac{1}{\left(k+1\right)^2}\right].2020+\dfrac{2020}{\left(k+1\right)^2}=2020\)

\(\Rightarrow\left(\text{*}\right)\) đúng với \(n=k+1\)

Do đó theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm.

Lại có:

\(u_{n+1}-u_n=\dfrac{2020}{\left(n+1\right)^2}-\dfrac{u_n}{\left(n+1\right)^2}< 0\) với mọi \(n\in N\text{*}\)

\(\Rightarrow\left(u_n\right)\) là dãy giảm

\(\left(u_n\right)\) là dãy giảm và bị chặn nên \(\left(u_n\right)\) là dãy hội tụ

Đặt \(limu_n=L\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2020\le L\le2021\\L=\left[1-\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2}\right].L+\dfrac{2020}{\left(n+1\right)^2}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow L=2020\left(tm\right)\)

Vậy \(limu_n=2020\)